29 2月
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複素解析をざっとまとめるー19(複素関数の積分その4)

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  • ゆえに、ローラン展開が既知あるいは容易に計算することのできる函数については、積分を計算することなく直ちに留数を求めることができる。

  • ポイントは 1 積分結果に影響を与えず,積分経路をいくらでも a の近傍に変形できる。

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15 7月
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コーシーの積分公式の証明と例題3問

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  • ローラン展開 ここで, をテイラー展開で と展開できますよね. でも,これは の様な関数は展開できません.(この辺はどういう関数ならテイラー展開で良いかはよく知りません.)そこで,テイラー展開の拡張でローラン展開と言うものがあります.例えば, があげられます.テイラー展開では で割っていましたが,ローラン展開ではしませんね.ここで冪数の最低次の数を極の次数といい,この場合は,2次の極と言います.大抵は 1次の極の計算を知っていれば対処できます.もし,この次数が無限なら,真性特異点と言います.では,この式 を囲った複素線積分(積分路 )はどうなるでしょう. とすれば,これも の寄与のみが残り, となるのです. 使い道 例えば,この積分値が分かるようになると,普通は不定積分が計算できないのに,実関数 の積分 などの定積分が分かるようになります.必ずしも実関数でなくてもよいです. 具体例を挙げてみます. として, を計算します.それには積分路を図の様に取ります. この経路 の反時計回り一周分の積分をします. ここで,円弧 の積分は で消えてしまいます. この辺は詳しく書きません.(cf. 2, 7 no. 1983 , The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer,• もちろん単純閉曲線になるように経路を変更しなければいけませんが。

  • それぞれ z 1周囲の経路 C 1と z 2周囲の経路 C 2と呼ぶ。

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19 1月
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コーシーの積分定理

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  • 定理 単一閉曲線C 0の内部にもう一つ単一閉曲線C 1があって,この二つの閉曲線が囲む領域Dにおいて関数f z が正則ならば, f z dz= f z dz である。

  • などしてくださる(/)。

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12 1月
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コーシーの積分公式の証明と例題3問

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  • 次回は、「コーシーの積分公式」について解説します。

  • 次のを求めよう. このとき閉曲線、つまり始点と終点が一致する場合に値が 0 になることは明らかである。

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14 8月
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コーシーの積分定理 証明【複素関数】

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  • 2 正則な領域では,a'が a の近傍にあれば,f a =f a' とみなせる[連続性]。

  • 1979 , Complex analysis 3rd ed. 雑記 高橋礼司「複素解析」第4章「コーシーの定理のもたらすもの」 読書メモ• 次のを求めよう. すなわち、 f z dz= f z dz z z [2] また,f z がD で正則なので,f z は D で連続です。

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